Tilastollinen signaalinkäsittely

Tänään luotiin katsaus tilastolliseen signaalinkäsittelyyn ja erityisesti parametrien estimointiin. Ideana on luoda malli signaalista, joka riippuu tietyistä parametreista. Ongelmana on tämän jälkeen kehittää menetelmä näiden parametrien valintaan mitatun datan perusteella. Esimerkkinä voisi olla signaali, jonka tiedetään olevan sinimuotoinen, mutta amplitudi, vaihe sekä taajuus eivät ole tiedossa. Tähän ongelmaan esitetään prujussa kaavat, joilla voidaan arvioida optimaalisesti (suurimman uskottavuuden mielessä) kohinaisesta datasta näitä kolmea parametria.

Seuraavaksi tutustuttiin tarkemmin pienimmän neliösumman menetelmään, joka valitsee parametrit minimoimalla neliövirheen datan ja mallin ennusteen välillä. Kaavana ilmaistuna, pyritään löytämään se vektori c joka minimoi lausekkeen sum((y-Hc)^2). Voidaan osoittaa, että tämä saadaan kätevästi kaavasta

c = (H^T*H)^-1 * H^T * y.

Seuraavaksi vilkaistiin muutamaa esimerkkisovellusta:

• Soft sensor, jossa ennustetaan jotain hankalasti mitattavaa suuretta useiden helppojen mutta epätarkkojen mittausten avulla
• Mikroskooppikuvan valaistuksen epätasaisuuden poisto
• Asuntojen hinnanmuodostus ja siihen vaikuttavat tekijät Tampereen keskustassa (tällä aineistolla)

Aivan luennon lopuksi tutustuttiin lyhyesti tapaukseen, jossa muuttujia on enemmän kuin näytteitä. Tällöin vektori c ei ole yksikäsitteinen, vaan useampi kerroinvektori tuottaa yhtä hyvän tuloksen. Tällaisissa tilanteissa valitaan tavallisesti lähimpänä origoa oleva c (siis se, jonka normi ||c|| on pienin). Vaihtoehtoisesti voidaan piirteenvalinnalla valita vain osa matriisin H sarakkeista, jolloin c tulee ennen pitkää taas yksikäsitteiseksi.